扔鸡蛋问题


Leetcode 887 Super Egg Drop. DP问题

题目描述:

你将获得 K 个鸡蛋,并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的,如果一个蛋碎了,你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ,满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎,从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动,你可以取一个鸡蛋(如果你有完整的鸡蛋)并把它从任一楼层 X 扔下(满足 1 <= X <= N)。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何,你确定 F 的值的最小移动次数是多少?

示例1:

输入:K = 1, N = 2
输出:2
解释:
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了,我们肯定知道 F = 0 。
否则,鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了,我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎,那么我们肯定知道 F = 2 。
因此,在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

示例2:

输入:K = 2, N = 6
输出:3

示例3:

输入:K = 3, N = 14
输出:4

提示:

  1. 1 <= K <= 100
  2. 1 <= N <= 10000

解决思路:

这个题目乍一看能暴力解决,然而仔细想想就会发现是需要用dp才能求出最优解的。

问题f(N),表示1~N层。假设有两个鸡蛋,从F层往下扔,会出现两种情况:

  1. 碎了,F - 1次,
  2. 没碎,还有N - F层,可以试两个鸡蛋,转化为子问题f(N - F)

推广之后,用f(K, N), K表示鸡蛋的个数,N表示楼层有N层。

当第一个鸡蛋从第F层扔下的时候,会得到两种结果:

  1. 如果碎了,还剩K - 1个鸡蛋,有F - 1层楼层需要扔,问题转化成f(K - 1, F - 1)
  2. 如果没碎,还剩K个鸡蛋,有N - F个楼层需要扔, 问题转化成f(K , N - F)

可得状态转移方程f(K, N) = min( 1 + max( f(K - 1, F - 1), f(K, N - F) ) )

推出代码:

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const int MAXK = 100, MAXN = 100;

int max(int a, int b) {return a > b ? a : b;}
int min(int a, int b) {return a < b ? a : b;}

int superEggDrop(int K, int N) {
int dp[MAXN+2][MAXK+2];
for (int i = 0; i <= MAXN; i++) {
dp[i][0] = 0;
dp[i][1] = i;
}
for (int j = 2; j <= MAXK; j++) {
for (int i = 1; i <= MAXN; i++) {
dp[i][j] = i;
for (int k = 1; k < i; k++) {
dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[k-1][j-1], dp[i-k][j]) + 1);
}
}
}
return dp[N][K];
}

用这个办法做出来TLE,怎么办呢?
我们可以改变一下求解的思路,求k个鸡蛋在m步内可以测出多少层。

f(K, M),表示K个鸡蛋在M步内,最坏条件下能测出的层数。
假设一共有K个鸡蛋,最多能扔N层。从F层扔下鸡蛋,会出现两种情况:

  1. 碎了,剩下K - 1个鸡蛋和M - 1步,f(K - 1, M - 1)
  2. 没碎,剩下K个鸡蛋和M - 1步,f(K, M - 1)
    因此f(K, M) = f(K - 1, M - 1)(摔碎时能确定的层数) + f(K, M - 1)(没摔碎时能确定的层数) + 1(本层)
    考虑边界情况:
  • 没有鸡蛋,一层都测不出来。可得f(K, 0) = 0
  • 只有一个鸡蛋,那必须从第1层开始扔,最坏情况要扔到M层才能测出来,一共扔M次。可得f(1, M) = M

推出代码:

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class Solution {
public:
int superEggDrop(int K, int N) {
if(K == 1)
return N;
int dp[10001][101] = {0};
for(int m = 1; m <= N; m ++){
for(int k = 1; k <= K; k ++){
dp[m][k] = dp[m - 1][k] + dp[m - 1][k - 1] + 1;
if(dp[m][k] >= N)
return m;
}
}
return N;
}
};

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