Leetcode 887 Super Egg Drop. DP问题

题目描述：

你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

示例1:

输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

示例2:

输入：K = 2, N = 6
输出：3

示例3:

输入：K = 3, N = 14
输出：4

提示:

1. 1 <= K <= 100
2. 1 <= N <= 10000

解决思路：

这个题目乍一看能暴力解决，然而仔细想想就会发现是需要用dp才能求出最优解的。

问题f(N)，表示1～N层。假设有两个鸡蛋，从F层往下扔，会出现两种情况：

1. 碎了，F - 1次，
2. 没碎，还有N - F层，可以试两个鸡蛋，转化为子问题f(N - F)

推广之后，用f(K, N), K表示鸡蛋的个数，N表示楼层有N层。

当第一个鸡蛋从第F层扔下的时候，会得到两种结果：

1. 如果碎了，还剩K - 1个鸡蛋，有F - 1层楼层需要扔，问题转化成f(K - 1, F - 1)
2. 如果没碎，还剩K个鸡蛋，有N - F个楼层需要扔， 问题转化成f(K , N - F)

可得状态转移方程f(K, N) = min( 1 + max( f(K - 1, F - 1), f(K, N - F) ) )

推出代码：

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const int MAXK = 100, MAXN = 100;

int max(int a, int b) {return a > b ? a : b;}
int min(int a, int b) {return a < b ? a : b;}

int superEggDrop(int K, int N) {
    int dp[MAXN+2][MAXK+2];
    for (int i = 0; i <= MAXN; i++) {
        dp[i][0] = 0;
        dp[i][1] = i;
    }
    for (int j = 2; j <= MAXK; j++) {
        for (int i = 1; i <= MAXN; i++) {
            dp[i][j] = i;
            for (int k = 1; k < i; k++) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[k-1][j-1], dp[i-k][j]) + 1);
            }
        }
    }
    return dp[N][K];
}

用这个办法做出来TLE，怎么办呢？
我们可以改变一下求解的思路，求k个鸡蛋在m步内可以测出多少层。

f(K, M)，表示K个鸡蛋在M步内，最坏条件下能测出的层数。
假设一共有K个鸡蛋，最多能扔N层。从F层扔下鸡蛋，会出现两种情况：

1. 碎了，剩下K - 1个鸡蛋和M - 1步，f(K - 1, M - 1)
2. 没碎，剩下K个鸡蛋和M - 1步，f(K, M - 1)
   因此f(K, M) = f(K - 1, M - 1)(摔碎时能确定的层数) + f(K, M - 1)（没摔碎时能确定的层数） + 1（本层）
   考虑边界情况：

• 没有鸡蛋，一层都测不出来。可得f(K, 0) = 0
• 只有一个鸡蛋，那必须从第1层开始扔，最坏情况要扔到M层才能测出来，一共扔M次。可得f(1, M) = M

推出代码：

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class Solution {
public:
    int superEggDrop(int K, int N) {
        if(K == 1)
            return N;
        int dp[10001][101] = {0};
        for(int m = 1; m <= N; m ++){
            for(int k = 1; k <= K; k ++){
                dp[m][k] = dp[m - 1][k] + dp[m - 1][k - 1] + 1;
                if(dp[m][k] >= N)
                    return m;
            }
        }
        return N;
    }
};